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title: "Incertidumbre de medida (GUM y Monte Carlo)"
description: "Los dos métodos de propagación de la GUM: la ley de propagación de la incertidumbre (ISO/IEC Guía 98-3:2008) y el método de Monte Carlo (Suplemento 1) — incertidumbre combinada y expandida, grados de libertad efectivos de Welch–Satterthwaite, evaluaciones de Tipo B e intervalos de cobertura simétricos en probabilidad."
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Todo resultado de medida está incompleto sin una declaración de su
incertidumbre. La *Guía para la expresión de la incertidumbre de medida* ofrece
dos formas de propagar las incertidumbres de las entradas de un modelo de
medida $y = f(x_1, \dots, x_N)$ hacia la salida: la **ley de propagación de la
incertidumbre** (**ISO/IEC Guía 98-3:2008**, la GUM, cláusula 5) y el **método
de Monte Carlo** (**ISO/IEC Guía 98-3-1:2008**, Suplemento 1, cláusula 7). La
primera combina las incertidumbres típicas analíticamente a través de los
coeficientes de sensibilidad; el segundo propaga numéricamente las
distribuciones de probabilidad completas. Coinciden para modelos lineales y
divergen, de forma reveladora, cuando el modelo es no lineal o las entradas se
alejan de la gaussiana.

<img class="light-only" src="https://raw.githubusercontent.com/jmrplens/phonometry/main/.github/images/diagram_uncertainty_es.svg" alt="Desde un modelo de medida compartido y sus estimaciones de entrada e incertidumbres típicas, dos vías paralelas: la ley de propagación de la GUM (coeficientes de sensibilidad, combinación en cuadratura, grados de libertad efectivos de Welch-Satterthwaite, incertidumbre expandida U igual a k por uc) y el método de Monte Carlo (muestrear cada entrada de su PDF, propagar M ensayos, tomar el intervalo de cobertura simétrico en probabilidad al 95 por ciento)" style="width:88%"><img class="dark-only" src="https://raw.githubusercontent.com/jmrplens/phonometry/main/.github/images/diagram_uncertainty_es_dark.svg" alt="Desde un modelo de medida compartido y sus estimaciones de entrada e incertidumbres típicas, dos vías paralelas: la ley de propagación de la GUM (coeficientes de sensibilidad, combinación en cuadratura, grados de libertad efectivos de Welch-Satterthwaite, incertidumbre expandida U igual a k por uc) y el método de Monte Carlo (muestrear cada entrada de su PDF, propagar M ensayos, tomar el intervalo de cobertura simétrico en probabilidad al 95 por ciento)" style="width:88%">

## 1. La ley de propagación de la incertidumbre (GUM, cláusula 5)

Para un modelo $y = f(x_1, \dots, x_N)$ con entradas no correlacionadas, la
incertidumbre típica combinada es la suma en cuadratura de las contribuciones de
las entradas $u_i(y) = |c_i|\,u(x_i)$ ponderadas por los coeficientes de
sensibilidad $c_i = \partial f / \partial x_i$:

$$
u_c^2(y) = \sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i).
$$

`combine_uncertainty` evalúa las sensibilidades por diferencias centradas, de
modo que funciona cualquier modelo invocable — sin derivadas parciales a mano.
Las magnitudes de entrada se describen con una `Quantity` (mejor estimación,
incertidumbre típica, PDF, grados de libertad). Las evaluaciones de Tipo B a
partir de una semianchura $a$ se construyen con `rectangular` ($a/\sqrt{3}$),
`triangular` ($a/\sqrt{6}$) y `u_shaped` ($a/\sqrt{2}$) (GUM, cláusula 4.3).

```python
import phonometry as ph

# A-weighted level: a reading plus zero-mean calibration, instrument and
# positional corrections. The model is their sum.
quantities = [
    ph.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    ph.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    ph.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    ph.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
result = ph.combine_uncertainty(lambda a, b, c, d: a + b + c + d, quantities)

print(round(result.value, 2))                 # 74.0
print(round(result.combined_uncertainty, 3))  # 0.407 dB
print(result.contributions.round(3))          # [0.    0.115 0.173 0.35 ]
print(round(result.effective_dof, 1))         # 16.5

k, U = result.expanded(0.95)
print(round(k, 2), round(U, 2))               # 2.11 0.86  ->  Y = 74.0 ± 0.9 dB
```

La **incertidumbre expandida** $U = k\,u_c$ escala la incertidumbre combinada
por un factor de cobertura $k = t_p(\nu_\text{ef})$ de la distribución $t$ con
los **grados de libertad efectivos** dados por la fórmula de Welch–Satterthwaite
(Anexo G.4). Aquí la única entrada de Tipo A (9 grados de libertad) hace bajar
$\nu_\text{ef}$ hasta unos 16, de modo que $k = 2{,}11$ en lugar del 1,96 de
gran muestra. Las entradas correlacionadas se tratan pasando una matriz de
correlación; una suma totalmente correlacionada se suma entonces linealmente en
vez de en cuadratura.

## 2. El método de Monte Carlo (Suplemento 1)

Cuando el modelo es no lineal o las entradas son marcadamente no gaussianas, la
hipótesis gaussiana de la GUM para la salida puede ser inexacta. `monte_carlo`
en cambio muestrea cada entrada de su PDF, evalúa el modelo sobre todos los
ensayos y reporta la media, la desviación típica y el **intervalo de cobertura
simétrico en probabilidad** (igual probabilidad en cada cola, cláusula 7.7).

```python
import phonometry as ph

quantities = [
    ph.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    ph.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    ph.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    ph.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
mc = ph.monte_carlo(lambda a, b, c, d: a + b + c + d, quantities,
                    trials=1_000_000, coverage=0.95, seed=1)

print(round(mc.value, 2))                 # 74.0
print(round(mc.standard_uncertainty, 3))  # 0.407 dB  (matches uc above)
print([round(x, 2) for x in mc.interval]) # [73.2, 74.8]
```

Para este modelo casi lineal la incertidumbre típica de Monte Carlo reproduce el
$u_c$ de la GUM con tres cifras y el intervalo al 95 % coincide con $Y \pm U$.
Ambos métodos se validan frente a los ejemplos resueltos de las propias Guías: el
modelo aditivo de cuatro entradas unidad da $u_c = 2{,}0$ (Suplemento 1,
cláusula 9.2), y cuatro entradas rectangulares dan un intervalo de Monte Carlo de
$[-3{,}88,\, 3{,}88]$ (Suplemento 1, cláusula 9.2.3).

<img class="light-only" src="https://raw.githubusercontent.com/jmrplens/phonometry/main/.github/images/uncertainty_budget_es.png" alt="Dos paneles para el ejemplo del nivel ponderado A. Izquierda: el balance de incertidumbre de la GUM, un diagrama de barras horizontales de la contribución de cada entrada a la incertidumbre combinada con una línea discontinua en uc de 0,407 dB. Derecha: el histograma de salida de Monte Carlo superpuesto con la gaussiana de la GUM y el intervalo de cobertura del 95 por ciento sombreado; el título indica Y igual a 74,00 dB, U igual a 0,86 dB, k igual a 2,11" style="width:96%"><img class="dark-only" src="https://raw.githubusercontent.com/jmrplens/phonometry/main/.github/images/uncertainty_budget_es_dark.png" alt="Dos paneles para el ejemplo del nivel ponderado A. Izquierda: el balance de incertidumbre de la GUM, un diagrama de barras horizontales de la contribución de cada entrada a la incertidumbre combinada con una línea discontinua en uc de 0,407 dB. Derecha: el histograma de salida de Monte Carlo superpuesto con la gaussiana de la GUM y el intervalo de cobertura del 95 por ciento sombreado; el título indica Y igual a 74,00 dB, U igual a 0,86 dB, k igual a 2,11" style="width:96%">

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import phonometry as ph

quantities = [
    ph.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    ph.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    ph.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    ph.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
model = lambda a, b, c, d: a + b + c + d
result = ph.combine_uncertainty(model, quantities)
mc = ph.monte_carlo(model, quantities, trials=1_000_000, coverage=0.95, seed=1)
k, U = result.expanded(0.95)

# One line for the budget:
result.plot()
plt.show()

# By hand, both panels — budget bars and the Monte Carlo output distribution:
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12.5, 5.4))
ax1.barh(result.names, result.contributions)
ax1.axvline(result.combined_uncertainty, ls="--",
            label=f"$u_c$ = {result.combined_uncertainty:.3f} dB")
ax1.invert_yaxis(); ax1.legend()

rng = np.random.default_rng(1)
samples = model(np.full(200_000, 74.0),
                rng.uniform(-0.20, 0.20, 200_000),
                rng.uniform(-0.30, 0.30, 200_000),
                rng.normal(0.0, 0.35, 200_000))
ax2.hist(samples, bins=120, density=True, alpha=0.35, label="Monte Carlo")
ax2.axvspan(*mc.interval, alpha=0.12, label="95 % coverage interval")
ax2.set_title(f"Y = {result.value:.2f} dB,  U = {U:.2f} dB (k = {k:.2f})")
ax2.legend()
plt.show()
```

</details>

El `UncertaintyResult` lleva el `value`, la `combined_uncertainty`, las
`sensitivities`, las `contributions` por entrada y los `effective_dof`; su
`.plot()` dibuja el balance y `.expanded(coverage)` devuelve el par $(k, U)$. El
`MonteCarloResult` lleva el `value`, la `standard_uncertainty`, el `interval` de
cobertura y su `coverage`. La incertidumbre de acústica de la edificación de
ISO 12999-1 — que combina términos de reproducibilidad para una magnitud de
número único — es un balance aparte, específico de ese dominio.

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**Normas.** ISO/IEC Guía 98-3:2008, *Uncertainty of measurement — Part 3: Guide
to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)* — la ley de
propagación de la incertidumbre (cláusula 5), la evaluación de Tipo B
(cláusula 4.3), la incertidumbre expandida y el factor de cobertura (cláusula 6,
Anexo G) y los grados de libertad efectivos de Welch–Satterthwaite (Anexo G.4).
ISO/IEC Guía 98-3-1:2008, *Supplement 1 — Propagation of distributions using a
Monte Carlo method* — la propagación numérica y el intervalo de cobertura
simétrico en probabilidad (cláusula 7).
